Про­ведём вы­со­ты FN и LM пи­ра­мид FABC и В тре­уголь­ни­ках FAN и LAM угол   — общий, а углы и   — пря­мые, зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам, от­ку­да:

За­ме­тим, что:

Так как BK  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка ABC, то Тогда:

Най­дем от­но­ше­ние объёмов:

Ответ: 7:1.

Про­ведём вы­со­ты FN и LM пи­ра­мид FABC и В тре­уголь­ни­ках FBN и LBM угол   — общий, а углы и   — пря­мые, зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам, от­ку­да:

За­ме­тим, что:

Так как AH  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка ABC, то Тогда:

Най­дем от­но­ше­ние объёмов:

Ответ: 3:2.

Тра­пе­ция AD₁PM  — ис­ко­мое се­че­ние, где как диа­го­наль квад­ра­та AA₁D₁D. Осталь­ные сто­ро­ны най­дем, при­ме­нив тео­ре­му Пи­фа­го­ра для со­от­вет­ству­ю­щих пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков:

Таким об­ра­зом, AD₁PM  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция. Про­ве­дем вы­со­ту PH, тогда тре­уголь­ник PHD₁  — пря­мо­уголь­ный. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в нем имеем:

Най­дем пло­щадь тра­пе­ции:

Ответ: 18 см².

Тра­пе­ция CD₁PN  — ис­ко­мое се­че­ние, где как диа­го­наль квад­ра­та AA₁D₁D. Осталь­ные сто­ро­ны най­дем, при­ме­нив тео­ре­му Пи­фа­го­ра для со­от­вет­ству­ю­щих пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков:

Таким об­ра­зом, CD₁PN  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция. Про­ве­дем вы­со­ту PH, тогда тре­уголь­ник PHD₁  — пря­мо­уголь­ный. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в нем имеем:

Най­дем пло­щадь тра­пе­ции:

Ответ: 72 см².